PROFMAT 2015: MA11 - Capítulo 6 - Funções Quadráticas

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

QUESTÃO 6.1

Encontre a função quadrática cujo gráfico é dado em cada figura abaixo:

Solução do livro Volume 4:

QUESTÃO 6.2

Solução do livro Volume 4:

QUESTÃO 6.3

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Solução do aluno Cassiano (UFES):

QUESTÃO 6.4

Solução do livro Volume 4:

QUESTÃO 6.5

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QUESTÃO 6.6

Encontre os valores mínimo e máximo assumidos pela função
f(x) = x² - 4x + 3 em cada um dos intervalos abaixo:

a) [1,4]

b) [6,10]

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QUESTÃO 6.7

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QUESTÃO 6.8

Prove que se a, b e c são inteiros ímpares, as raízes de
y = ax² + bx + c não são racionais.

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Solução da professora Magda (UFES):

QUESTÃO 6.9

Dado um conjunto de retas do plano, elas determinam um número máximo de regiões quando estão na chamada posição geral: isto é, elas são concorrentes duas a duas e três retas nunca têm um ponto comum. Seja R_n o número máximo de regiões determinadas por n retas do plano.

a) Quando se adiciona mais uma reta na posição geral a um conjunto de n retas em posição geral, quantas novas regiões são criadas?

b) Deduza a) que R_n é dada por uma função quadrática de n e obtenha a expressão para R_n.

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QUESTÃO 6.10

No máximo quantos pontos de interseção existem quando são desenhadas n circunferências?

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QUESTÃO 6.11

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Solução da aluna Monica (UFES):

QUESTÃO 6.12

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QUESTÃO 6.13

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QUESTÃO 6.14

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QUESTÃO 6.15

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QUESTÃO 6.16

No instante t = 0, o ponto P está em (-2,0) e o ponto Q, em (0,0). A partir desse instante, Q move-se para cima com velocidade de 1 unidade por segundo e P move-se para a direita com velocidade de 2 unidades por segundo. Qual o valor da distância mínima entre P e Q?

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QUESTÃO 6.17

Se x e y são reais tais que 3x + 4y = 12, determine o valor mínimo de z = x² + y².

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QUESTÃO 6.18

Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão. A companhia exigiu de cada passageiro R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que número de passageiros a rentabilidade da empresa é máxima?

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QUESTÃO 6.19

João tem uma fábrica de sorvetes. Ele vende, em média, 300 caixas de picolés por R$ 20,00. Entretanto, percebeu que, cada vez que diminuía R$ 1,00 no preço da caixa, vendia 40 caixas a mais. Quanto ele deveria cobrar pela caixa para que sua receita fosse máxima?

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QUESTÃO 6.20

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QUESTÃO 6.21

O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9,00, em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja máxima?

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QUESTÃO 6.22

Qual o valor máximo de 21n - n², n inteiro?

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QUESTÃO 6.23

Esboce o gráfico de:

a) f(x) = |x²| - |x| + 1;

b) f(x) = |x² - x|.

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QUESTÃO 6.24

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QUESTÃO 6.25

Resolva a inequação x⁴ + x² - 20 > 0

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QUESTÃO 6.26

Determine explicitamente os coeficientes a, b, c do trinômio
f(x) = ax² + bx + c em função dos valores f(0), f(1) e f(2).

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QUESTÃO 6.27

Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, por cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes com um consumo médio de 500 g cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?

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QUESTÃO 6.28

Um prédio de 1 andar, de forma retangular, com lados proporcionais a 3 e 4, vai ser construído. O imposto predial é de 7 reais por metro quadrado, mais uma taxa fixa de 2.500 reais. A prefeitura concede um desconto de 60 reais por metro linear de perímetro, como recompensa pela iluminação externa e pela calçada em volta do prédio. Quais devem ser as medidas dos lados para que o imposto seja o mínimo possível? Qual o valor deste imposto mínimo?

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QUESTÃO 6.29

Determine entre os retângulos de mesma área a, aquele que tem o menor perímetro. Existe algum retângulo cujo perímetro seja maior do que os de todos os demais com a mesma área?

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QUESTÃO 6.30

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QUESTÃO 6.31

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QUESTÃO 6.32

Numa concorrência pública para a construção de uma pista circular de patinação, apresentam-se as firmas A e B. A firma A cobra 20 reais por metro quadrado de pavimentação, 15 reais por metro linear do cercado, mais uma taxa fixa de 200 reais para administração. Por sua vez, a firma B cobra 18 reais por metro quadrado de pavimentação, 20 reais por metro linear do cercado e taxa de administração de 600 reais. Para quais valores do diâmetro da pista a firma A é mais vantajosa? Esboce um gráfico que ilustre a situação. Resolva um problema análogo com os números 18, 20 e 400 para A e 20, 10, 150 para B.

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QUESTÃO 6.33

Dados a, b, c positivos, determinar x e y tais que xy = c e que ax + by seja o menor possível.

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QUESTÃO 6.34

Cavar um buraco retangular de 1 m de largura de modo que o volume cavado seja 300 m². Sabendo que cada metro quadrado de área cavada custa 10 reais e cada metro de profundidade custa 30 reais, determinar as dimensões do buraco de modo que o seu custo seja mínimo.

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QUESTÃO 6.35

Dois empresários formam uma sociedade cujo capital é de 100 mil reais. Um deles trabalha na empresa três dias por semana e o outro dois. Após um certo tempo, vendem o negócio e cada um recebe 99 mil reais. Qual foi a contribuição de cada um para formar a sociedade?

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