PROFMAT 2015: MA12 - Capítulo 6 - Análise Combinatória

EM CONSTRUÇÃO!!

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

QUESTÃO 6.1

Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com 5 alternativas por questão?

Solução do livro Volume 4:

A primeira pergunta pode ser respondida de 5 modos; a segunda, de 5 modos, etc.
A resposta é 5 × 5 × ··· × 5 = 5¹⁰ = 9 765 625.

QUESTÃO 6.2

Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?

Solução do livro Volume 4:

Solução 1

Para formar um subconjunto, deve-se decidir, para cada elemento do conjunto, se ele pertencerá ou não ao subconjunto. Há 2 modos de decidir o que fazer com o primeiro elemento do conjunto, 2 modos com o segundo, etc.

A resposta é 2 × 2 × ··· × 2 = 2ⁿ.

Solução 2

Quando se acrescenta um elemento a um conjunto, os subconjuntos do novo conjunto são os subconjuntos do conjunto original e estes unidos ao novo elemento. Ou seja, o número de subconjuntos dobra. Então, se A_n é o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos, (A_n) é uma progressão geométrica de razão 2. Logo, A_n = A₀ . 2ⁿ = 2ⁿ pois o conjunto vazio possui um único subconjunto.

QUESTÃO 6.3

De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila?

Solução do livro Volume 4:

A primeira pessoa tem 5 escolhas; a segunda, 4; a terceira, 3. A resposta é 5 × 4 × 3 = 60.

Solução da aluna Monica (UFES):

Permutação de 5 elementos sendo 2 repetidos (os espaços vazios):

QUESTÃO 6.4

De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?

Solução do livro Volume 4:

Os bancos em que os homens se sentam podem ser escolhidos de 5×4×3×2×1 = 120 modos, o mesmo ocorrendo com os bancos das mulheres (120²).
Em cada banco, os casais podem se sentar de 2 modos diferentes (2⁵).

A resposta é 120² × 2⁵ = 460 800.

QUESTÃO 6.5

De quantos modos podemos:

a) colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 x 8?

b) E se os reis fossem iguais?

Solução do livro Volume 4:

a) As 64 casas do tabuleiro dividem-se, naturalmente, em três grupos:

i) as 4 casas dos vértices;
ii) as 24 casas da borda do tabuleiro, mas que não são vértices;
iii) as restantes 36 casas, que são interiores ao tabuleiro.

Vamos separar a nossa contagem conforme o tipo de casa ocupada pelo rei negro:

i) há 4 possibilidades para o rei negro e 60 para o rei branco;
ii) há 24 possibilidades para o rei negro e 58 para o rei branco;
iii) há 36 possibilidades para o rei negro e 55 para o rei branco.

A resposta é 4 × 60 + 24 × 58 + 36 × 55 = 3612.

b) Se os reis fossem iguais, a resposta passa a ser a metade da resposta anterior, pois, trocando a posição dos reis, agora obtém-se a mesma configuração.

A resposta é 3612 : 2 = 1806.

QUESTÃO 6.6

De quantos modos podemos:

a) colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 x 8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna?

b) E se as torres fossem diferentes?

Solução do livro Volume 4:

a) Haverá uma torre em cada linha e em cada coluna. A posição da primeira linha pode ser escolhida de 8 modos; a da segunda linha, de 7, etc.

A resposta é 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320.

b) Se as torres fossem diferentes, para cada uma das escolhas de posição, teríamos que escolher uma das torres.

A resposta seria, portanto, 8 × 8 × 7 × 7 × 6 × 6 × 5 × 5 × 4 × ×3 × ×3 × 2 × 2 × 1 × 1 = (8!)² = 1 625 702 400.

QUESTÃO 6.7

De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser um rei?

Solução do livro Volume 4:

Se a primeira carta é o rei de copas, a segunda pode ser escolhida de 48 modos (pode ser qualquer carta, exceto os 4 reis). Se a primeira carta é de copas mas não é o rei, ela pode ser escolhida de 12 modos. Neste caso, a segunda carta pode ser escolhida de 47 modos (não pode ser a primeira escolhida, nem nenhum dos 4 reis).

A resposta é 48 + 12 × 47 = 612.

QUESTÃO 6.8

a) De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente, 8 x 90 como sendo o mesmo que 90 x 8.

b) E o número 144?

Solução do livro Volume 4:

a) Como 720 = 2⁴ × 3² × 5¹, 720 possui 5 × 3 × 2 = 30 divisores. Aos pares, estes divisores formam produtos iguais a 720. Logo, há 15 modos de escrever 720 como um produto de divisores.

b) Como 144 = 2⁴ × 3², 144 possui 5 × 3 = 15 divisores. Com eles, podem ser formados 7 pares de divisores cujo produto é 144 e, além disso pode ser formado o produto 12 × 12. Assim, há 8 modos de escrever 144 como um produto de divisores.

QUESTÃO 6.9

Em um corredor há 900 armários, numerados de 1 a 900, inicialmente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1 a 900, atravessam o corredor.A pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de número 4 mexe nos armários 4, 8, 12 , ..., abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Ao final, quais armários ficarão abertos?

Solução do livro Volume 4:

Um armário ficará aberto se ele for mexido um número ímpar de vezes.
Por outro lado, o armário de ordem k é mexido pelas pessoas números são divisores de k. Logo, estarão abertos números possuem um número ímpar de divisores. Isto ocorre números cujos expoentes são todos pares na decomposição em fatores primos, ou seja, são quadrados perfeitos. Assim, permanecerão abertos os armários cujos números são quadrados perfeitos, ou seja, os de números 1², 2²,..., 30², ou seja, 30 armários.

QUESTÃO 6.10

Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor?

Solução do livro Volume 4:

Separemos o caso em que o primeiro e o terceiro quadrantes têm cores iguais do caso em que eles têm cores diferentes.

No caso de cores iguais, há 5 modos de escolher a cor única para o primeiro e o terceiro quadrantes, 4 modos de escolher a cor para o segundo quadrante e 4 modos de escolher a cor para o quarto quadrante.

Há, portanto, 5 × 4 × 4 = 80 modos de colorir o mapa usando cores iguais no primeiro e no terceiro quadrantes.

No caso de cores diferentes, há 5 modos de escolher a cor para o primeiro quadrante, 4 modos de escolher a cor para o terceiro quadrante, 3 modos de escolher a cor para o segundo quadrante e 3 modos de escolher a cor para o quarto quadrante. Há 5 × 4 × 3 × 3 = 180 modos de colorir o mapa usando cores iguais no primeiro e no terceiro quadrantes.

No total, temos, portanto, 80 + 180 = 260 modos de colorir a figura.

QUESTÃO 6.11

De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26 letras:

a) se a letra A deve figurar na palavra mas não pode ser a primeira letra da palavra?

b) E se a palavra devesse ter letras distintas?

Solução do livro Volume 4:

Solução 1

Há 26⁵ = 11 881 376 palavras de 5 letras. Delas, devemos as palavras que começam por A, 1×26⁴ = 456 976, e aquelas nas quais a letra A não figura, 25⁵ = 9 765 625.

A resposta é 11 881 376 − 456 976 − 9 765 625 = 1 658 775.

b) O número total de palavras de 5 letras distintas é 26 × 25 × 24 × 23 × 22 = 7 893 600. Delas devemos subtrair as palavras que começam por A, 1 × 25 × 24 × 23 × 22 = 303 600 e aquelas nas quais a letra A não figura, 25 × 24 × 23 × 22 × 21 = 6375 600.

A resposta é 7 893 600 − 303 600 − 6 375 600 = 1 214 400.

Solução 2

Há 4 posições para colocar a letra A; depois disso, as quatro casas

vazias podem ser preenchidas de 25, 24, 23 e 22 modos.

A resposta é 4 × 25 × 24 × 23 × 22 = 1 214 400.

QUESTÃO 6.12

As placas dos veículos são formadas por três letras (de um alfabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poderão ser formadas?

Solução do livro Volume 4:

Cada letra pode ser escolhida de 26 modos, enquanto cada algarismo pode ser escolhido de 10 modos. Logo, o número total de placas é 26³ × 10⁴ = 175 760 000.

QUESTÃO 6.13

Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências?

Solução do livro Volume 4:

O número de modos de acomodar os passageiros que pretendem de frente é 5 × 4 × 3 × 2 = 120; o número de modos de acomodar os passageiros que pretendem sentar de costas é 5 × 4 × 3 = 60; o número de modos de acomodar os demais passageiros é 3 × 2 × 1 = 6.

A resposta é 120 × 60 × 6 = 43 200.

QUESTÃO 6.14

Escrevem-se os inteiros de 1 até 2222. Quantas vezes o algarismo zero é escrito?

Solução do livro Volume 4:

Vamos primeiramente determinar quantos zeros são escritos na das unidades, depois na das dezenas, etc.

- Há 222 números que têm 0 como algarismo das unidades, pois antes do zero podem ser colocados os inteiros de 1 (inclusive) a 222 (inclusive).

- Há 22 × 10 = 220 números que têm 0 como algarismo das dezenas, pois antes do zero podem ser colocados os inteiros de 1 (inclusive) a 22 (inclusive) e depois do zero, os inteiros de 0 (inclusive) a 9 (inclusive).

- Há 2 × 100 = 200 números que têm 0 como algarismo das centenas, pois antes do zero podem ser colocados os inteiros de 1 (inclusive) a 2 (inclusive) e depois do zero, os inteiros de 0 (inclusive) a 99 (inclusive).

A resposta é 222 + 220 + 200 = 642.

QUESTÃO 6.15

Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura?

Solução do livro Volume 4:

É mais simples contar, primeiramente, os números onde o 5 não aparece. O primeiro dígito pode ser escolhido de 8 pode ser igual a 0 nem igual a 5) e cada um dos demais três dígito pode ser selecionado de 9 modos (deve ser diferente de 5). Logo, há 8×9³ = 5832 números de 4 algarismos em que não aparece o algarismo 5.

A quantidade de números de 4 dígitos, com ou sem o dígito 5, é 9×10³ = 9000 (pois há 9 modos de selecionar o primeiro dígito, que deve ser diferente de 0, e 10 modos de selecionar cada um dos demais 4 dígitos).

Logo, há 9000 − 5832 = 3168 números de 4 algarismos em que o 5 não aparece.

QUESTÃO 6.16

Em uma banca há 5 exemplares iguais da "Veja", 6 exemplares iguais da "Época" e 4 exemplares iguais da "Isto é". Quantas coleções não vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?

Solução do livro Volume 4:

QUESTÃO 6.17

Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, de 13h às 14h e de 14h às 15h. As matérias são Matemática, Física e Química, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma?

Solução do livro Volume 4:

Em cada dia, duas das matérias são ensinadas e uma folga. há 3 possibilidades para escolher a matéria que folga na segunda, 2 para escolher a que folga na quarta e 1 para escolher a que folga na sexta. Portanto, há 6 modos para escolher as matérias de cada dia. Para escolher os horários, há 2 possibilidades em cada dia.
Logo, o número total de horários é 6 x 8 = 48.

Solução da aluna Monica (UFES):

QUESTÃO 6.18

O problema do Exemplo 1 da Unidade 11 - Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? - foi resolvido por um aluno do modo a seguir: "A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira pessoa. Há portanto 10 x 5 = 50 modos de formar um casal". Onde está o erro?

QUESTÃO 6.19

Escrevem-se números de 5 dígitos, inclusive os começados em 0, em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como 6, de cabeça para baixo se transforma em 9 e vice-versa, um mesmo cartão pode representar dois números (por exemplo, 06198 e 86190).

Qual é o número de cartões para representar todos os números de 5 dígitos?

Solução em http://pir2.forumeiros.com/t2814-combinatoria-numeros-de-cabeca-para-baixo:

Todos os cartões possíveis:
__ __ __ __ __ : 10⁵ = 100 000.
Os cartões que quando virados de cabeça para baixo continuam representando cartões são formados por algarismos pertencentes ao conjunto {0, 1, 6, 8, 9}. Esses cartões são em número de:
__ __ __ __ __ : 5⁵ = 3125.
Há cartões que virados de cabeça para baixo representam o mesmo número, como por exemplo: 00000, 11111, 88888, 69069, 16891, 09060, 86098, 81018 e 10101. Vamos chamá-los de cartões simétricos.
Observe as 5 posições: __ __ __ __ __, temos que nos preocupar com as 3 primeiras (unidade, dezena e centena) ou com as 3 últimas, isso é devido à simetria, pois a unidade de milhar é reflexo da dezena e a dezena de milhar é reflexo da unidade.
Quanto à centena, ou seja, terceira posição, há simetria em relação ao 0, ao 1 e ao 8, o 6 e o 9, quando virados de cabeça para baixo e na posição da centena, alteram o cartão. Esses cartões são em quantidade de:
__ __ __ __ __: 5∙5∙3∙1∙1 = 75.
Retirando essa última quantidade dos 3125, temos: 3125 – 75 = 3050.

3050 são todos os cartões que virados de cabeça para baixo representam números diferentes do original, então precisamos somente da metade desses cartões: 3050/2 = 1525.

Logo, devemos subtrair 1525 de 10 000: 10 000 – 1525 = 98 475.

QUESTÃO 6.20

Qual a soma dos divisores positivos de 360?

Solução do livro Volume 4:

A decomposição de 360 em fatores primos é 360 = 2³.3².5.

Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2^α.3^β.5^γ, com α ∈ {0, 1, 2, 3}, β ∈ {0, 1, 2} e γ ∈ {0, 1}.

A soma dos divisores é S = Σ 2^α.3^β.5^γ, com α ∈ {0, 1, 2, 3},
β ∈ {0, 1, 2} e γ ∈ {0, 1}.

Para calcular essa soma, dividimos as parcelas em dois grupos, conforme seja γ = 0 ou γ = 1. S = Σ (2^α.3^β.5⁰) + Σ (2^α.3^β.5¹) = 6 Σ (2^α.3^β) porque a segunda soma é igual ao quíntuplo da primeira.

Agora, dividimos as parcelas em grupos, conforme seja β = 0, β = 1 ou β = 2.

S = 6.[Σ (2^α.3⁰) + Σ (2^α.3¹) + Σ (2^α.3²)] = 6.[Σ 2^α + 3.Σ 2^α + 9.Σ 2^α] = 6.[13.Σ 2^α] = 78.Σ2^α =

78 . [2⁰ + 2¹ + 2² + 2³] = 78 . 15 = 1 170.

QUESTÃO 6.21

Quantos são os anagramas da palavra CAPITULO

a) possíveis?

b) que começam e terminam por vogal?

c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?

d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?

e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem?

f) que têm a letra p em primeiro lugar e a letra a em segundo?

g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?

h) que têm p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro?

i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p?

Solução do livro Volume 4:

QUESTÃO 6.22

De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?
QUESTÃO 6.23

De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?

QUESTÃO 6.24

QUESTÃO 6.25

De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?

QUESTÃO 6.26

De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?

QUESTÃO 6.27

De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 e 2 grupos de 4?

QUESTÃO 6.28

Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada?

QUESTÃO 6.29

QUESTÃO 6.30

De quantos modos é possível colocar r rapazes e m moças em fila de modo que as moças permaneçam juntas?

QUESTÃO 6.31

QUESTÃO 6.32

QUESTÃO 6.33

QUESTÃO 6.34

Quantos são os anagramas da palavra ESTRELADA?

QUESTÃO 6.35

O conjunto A possui n elementos. Quantos são os seus subconjuntos com p elementos?

QUESTÃO 6.36

QUESTÃO 6.37

QUESTÃO 6.38

QUESTÃO 6.39

QUESTÃO 6.40

QUESTÃO 6.41

QUESTÃO 6.42

QUESTÃO 6.43

Uma fila de cadeiras no cinema tem 10 poltronas. De quantos modos 3 casais podem se sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sente separado de sua mulher?

QUESTÃO 6.44

Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO que não possuem consoantes adjacentes?

QUESTÃO 6.45

De quantos modos podemos selecionar p elementos, sem selecionar dois números consecutivos, no conjunto {1, 2, ..., n}?

QUESTÃO 6.46

QUESTÃO 6.47

Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para 3 alunos cada. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar?

QUESTÃO 6.48

Formam-se as combinações simples de classe 5 dos elementos a₁, a₂, ... , a₁₂, as quais são escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Quantas são as combinações nas quais o elemento a₈ ocupa o 3º lugar?

QUESTÃO 6.49

De quantos modos é possível colocar em fila h homens e m mulheres, todos de alturas diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de altura?

QUESTÃO 6.50

QUESTÃO 6.51

QUESTÃO 6.52

De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com 4 jogadores?

Solução:

Permutação circular:

(n - 1)! = (4 - 1)! = 3! = 6 modos

QUESTÃO 6.53

De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?

Solução:

(5 - 1)! . 5! = 4!.5! = 24 . 120 = 2880 modos

QUESTÃO 6.54

De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?

Solução:

(A) Total: (6 - 1)! = 120
(B) Vera e Isadora juntas: 2 . (5 - 1)! = 48
(A) - (B) = 120 - 48 = 72 modos.

QUESTÃO 6.55

Quantas são as soluções inteiras e positivas de x + y + z = 7?

Solução:

A expressão x + y + z = 7 equivale a x + 1 + y + 1 + z + 1 = 7, ou seja, a x + y + z = 4.

Assim, C_4+3-1,4 = C_6,4 = 15.

Obs: Veja exemplos resolvidos aqui.

QUESTÃO 6.56

Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x + y + z =< 6?

Solução:

A expressão x + y + z =< 6 equivale a x + y + z + w = 6.

Assim, C_6+4-1,6 = C_9,6 = 84.

QUESTÃO 6.57

Uma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas de 20 balas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos de caixas podem ser montados?

Solução:

A equação é x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 20.

Assim, C_20+5-1,20 = C_24,20 = 10 626.

QUESTÃO 6.58

Com 7 vitaminas diferentes, quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar?

Solução:

C_7,2 + C_7,3 + C_7,4 + C_7,5 + C_7,6 + C_7,7 = 120.

QUESTÃO 6.59

Solução:

a) p = 5.

b) p = 10 ou 11.

QUESTÃO 6.60

QUESTÃO 6.61

QUESTÃO 6.62

QUESTÃO 6.63

QUESTÃO 6.64

Solução da aluna Monica (UFES):

QUESTÃO 6.65

QUESTÃO 6.66

QUESTÃO 6.67

QUESTÃO 6.68

QUESTÃO 6.69

QUESTÃO 6.70

QUESTÃO 6.71

QUESTÃO 6.72

QUESTÃO 6.73

QUESTÃO 6.74

(OBMEP 2012) Seis amigos, entre eles Alice e Bernardo, vão jantar em uma mesa triangular, cujos lados têm 2, 3 e 4 lugares, como na figura. De quantas maneiras esses amigos podem sentar-se à mesa de modo que Alice e Bernardo fiquem juntos e em um mesmo lado da mesa?

Solução da OBMEP:

Há 6 possibilidades para escolher dois lugares juntos no mesmo lado da mesa: 1 no lado com 2 lugares, 2 no lado com 3 lugares e 3 no lado com 4 lugares. Uma vez escolhida uma dessas possibilidades, Alice e Bernardo podem se sentar de duas maneiras diferentes nesses lugares. Os quatro amigos que ainda estão em pé podem se sentar nos 7 lugares vazios de 7 × 6 × 5 × 4 = 840 maneiras diferentes.

No total, os amigos podem sentar-se à mesa de 6 × 2 × 840 = 10 080 maneiras diferentes.

QUESTÃO 6.75

(OBMEP 2006) De quantos modos pode-se preencher um quadrado 4x4 de modo que em cada linha, cada coluna e cada quadrado 2x2 destacado apareça exatamente uma vez cada um dos números 1 a 4? A figura abaixo mostra um exemplo de preenchimento válido.

Solução da OBMEP:

QUESTÃO 6.76

(EXAME DE ACESSO - PROFMAT 2013) As placas de automóveis têm 3 letras do alfabeto (de 26 letras) e 4 números (de 0 a 9). Elas foram inseridas num banco de dados usando a ordem alfabética para as letras e a ordem habitual para os números. Começando com AAA0000, seguem, em ordem crescente dos números, as placas que iniciam com AAA para, em seguida, aparecer a placa AAB0000. Depois da placa AAZ9999 seguirão: ABA0000, ABA0001, etc. Assinale a alternativa que traz a inscrição da placa que ocupa a posição 20.290.754.

Solução do PROFMAT:

Entre as placas que começam por A, existem 26 × 26 = 676 escolhas possíveis para a segunda e terceira letras. Como os números vão de 0000 a 9999, são 10 mil números. Logo, existem 6.760.000 placas iniciadas por A: de AAA0000 até AZZ9999. A placa na posição 6.760.001 é a placa BAA 0000. Da posição 6.760.001 até a posição 6.760.000+6.760.000 = 13.520.000 são as placas que iniciam por B: de BAA0000 até BZZ9999. A placa na posição 13.520.001 é a placa CAA0000. E o raciocínio se repete. A placa na posição 20.280.001 (= 13.520.001+6.760.000) é a primeira placa iniciada por D, ou seja, DAA0000. A placa procurada começa com a letra D, já que 20.290.754 = 20.280.000 + 10.754 e 10.754<6.760.000. As placas iniciadas com DA são em número de 260.000 (= 26 × 10.000). As primeiras 10.000 são as placas de DAA0000 até DAA9999 que ocupam as posições 20.280.001 e 20.290.000, respectivamente. A placa na posição 20.290.001 é a placa DAB0000. Logo, a placa na posição 20.290.754 é a placa DAB0753.

QUESTÃO 6.77

QUESTÃO 6.78

(PROFMAT - EXAME DE ACESSO 2012) O número 2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente?

Solução do PROFMAT: